Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Suatu persamaan linear dapat diselcoesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:

difaktorisasi menjadi:

Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:

Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:
1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:
untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:
untuk i=2 sampai n

3. untuk i = 2 sampai n-1

untuk j = i + 1 sampai n

4. Hitung indeks terakhir:

Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:

maka

untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n

nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:

dengan cara:

untuk i=n-1 sampai 1

Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:

matriks harus square.
tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).

Sumber: Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis (7ed., Brooks Cole, 2001)

NB: Tulisan diambil dari salah satu tugas kuliah saya, maaf apabila penyajian equation tidak terlalu rapi..hehe..semoga bisa membantu..

Metode Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

Artikel ini di ambil dari : https://arifhidayat659.blogspot.com/2014/04/metode-eliminasi-gauss-dan-gauss-jordan.html?showComment=1611789239385#c1786260518365800533

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
Dibawah 1 utama harus nol

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan

2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Berikut adalah penyelesaiannya :

Eliminasi Gauss

Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi

X3 = 0.538

X2 - 0.25(X3) = 1.25

X2 = 1.25 + 0.25(0.538)

X2 = 1.384

X1 - 2X2 + X3 = 0

X1 = 2X2 - X3

X1 = 2(1.384) - 0.538

X1 = 2.23

Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :

Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.

Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Sekian share saya mengenai metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan ...

Determinan Matriks – Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal

Postingan dari : Ahmad Arifin

Di ambil dari : https://rumusbilangan.com/determinan-matriks/

Rumusbilangan.com- Materi Cara Menentukan Determinan Matriks Dibahas Lengkap mulai dari pengertian, sifat-sifatnya, dan juga contoh soal determinan matriks beserta pembahasannya.

Hay sahabat,, hari ini kita akan melanjutkan kembali belajar matematika. Kali ini materi yang akan dibahas adalah Bagaimana Cara Menentukan Determinan Matriks, yang meliputi pengertian, sifat-sifat dan beberapa contoh soalnya. Untuk itu yuk kita simak!

Daftar Isi Artikel :

Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks $A$ ditulis dengan sebuah tanda, yaitu: $det(A)$ , $det A$ , atau |A|. Determinan bisa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, maka rumusnya adalah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n ialah:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).$

Metode eliminasi Gauss juga bisa dipakai.

Sebagai contoh, yaitu pada determinan matriks berikut:

A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}

bisa dihitung dengan menggunakan sebuah matriks berikut:

B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.

Keterangan:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris yang kedua, sehingga det(A) = det(B).

Kemudian C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, yang D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamannya : (−2) · 2 · 4.5 = −18.

Oleh karena itu, det(A) = −det(D) = +18.

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu diantarannya:

1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Perhatikan contoh berikut:

Misalkan : $A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0;\: B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$

2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh berikut:

Misalkan: B = $\begin{bmatrix} 4 & 3 & 2\\ 5 & 7 & 8\\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$ (Sebab elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).

3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh di bawahberikut:

Misalkan: A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 5 & 7 & 0\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0$ (Sebab elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| : |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A.

6. |A–1| = $\frac{1}{\left | A \right |}$ , untuk A–1 ialah invers dari matriks A.

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalahsuatu konstanta.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Soal Determinan Ordo 2 x 2

Contoh 1:

Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari sebuah matrik berikut :

Pembahasan:

M=

5	2
4	3

Jawab :

det(M) =

5	2
4	3

Maka = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

Contoh 2:

Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

Pembahasan:

N=

-6	-1
3	-2

Jawab:

det(N) =

-6	-1
3	-2

Maka = ((–6) × (-2)) – (3 × (–1)) = 15

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Misalnya kita ketahui sebuah matriks A, yang merupakan matriks persegi dengan ordo dua. Maka:

A=

a	b
c	d

Dengan demikian, dapat diperoleh sebuah rumus det A sebagai berikut:

det(A) =

a	b
c	d

Maka = ad – bc

Contoh 1:
Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

M=

5	6
4	3

Pembahasan:

det(M) =

5	6
4	3

= (5 × 3) – (6 × 4) = 16

Contoh.2
Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

N=

-6	-2
3	-2

Pembahasan:

det(N) =

-6	-2
3	-2

= ((–6) × (-2)) – (3 × (–2)) = 18

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Terdapat ada dua cara di dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3×3 ini, yaitu :

Metode Sarrus, dan
Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3×3 yaitu metode Sarrus.

Metode Sarrus

Misalnya, kita mempunyai matriks A berordo 3×3 seperti berikut :

A =

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Maka cara perhitungan determinannya dapat ditunjukkan oleh gambar dibawah berikut:
Determinan Matriks

Sekarang kita pelajari contoh berikut:

Contoh 1:
Tentukanlah Nilai Determinan dari matriks ordo 3×3 berikut :

A =

2	3	4
5	4	3
7		1

Pembahasan:

Nilai determinan untuk matriks di atas ialah sebagai berikut:

det(A) =

2	3	4
5	4	3
7		1

2	3
5	4
7

det(A) = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5. – 4.4.7 – 2.3. – 3.5.1 = 8 + 63 + – 112 – – 15 = – 56

Contoh 2:
Tentukanlah Nilai Determinan dari matriks ordo 3×3 berikut :

B =

1	2	3
2	1	4
3	1	2

Pembahasan:

Nilai determinan untuk matriks di atas ialah sebagai berikut:

det(B) =

1	2	3
2	1	4
3	1	2

1	2
2	1
3	1

det(A) = (1.1.2) + (2.4.3) + (3.2.1) – (3.1.3) – (1.4.1) – (2.2.2) = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11

Demikianlah pembahasan kita mengenai Determinan Matriks. Semoga bermanfaat …

blog asli by : https://rumusbilangan.com/determinan-matriks/

Rabu, 27 Januari 2021

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Metode Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss Jordan

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Eliminasi Gauss

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :

Pengertian Determinan Matriks

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Contoh Soal dan Pembahasannya

Soal Determinan Ordo 2 x 2

Contoh 1:

Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari sebuah matrik berikut :

Pembahasan:

M=

Jawab :

det(M) =

Maka = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

Pembahasan:

N=

det(N) =

Maka = ((–6) × (-2)) – (3 × (–1)) = 15

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

A=

det(A) =

Maka = ad – bc

M=

Pembahasan:

det(M) =

= (5 × 3) – (6 × 4) = 16

N=

Pembahasan:

det(N) =

= ((–6) × (-2)) – (3 × (–2)) = 18

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Metode Sarrus

A =

A =

det(A) =

B =

det(B) =